广东专升本复习资料数学2--多元函数微分学知识点睛
多元函数微分学知识点睛
知识结构:
必备基础知识
★偏导数的概念(增量比值的极限)几元函数就由几个偏导数
Dz=f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y)
可表示为
其中A、B不依赖于Dx、Dy而仅与x、y有关,则称函数在点(x,y)可微分,而称ADx+BDy为函数在点(x,y)的全微分,记作,即
如果函数在区域D内各点处都可微分,那么称这函数在D内可微分。
★全微分存在的充分必要条件
(必要条件):如果函数在点可微分,则该函数在点的偏导数、必存在,且函数在点的全微分为:.
(充分条件) 如果函数的偏导数、在点连续,则该函数在点可微分.习惯上,记全微分为:
★二阶偏导数
(1)纯偏导
(2)混合偏导
★二元函数的极值定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于(x0,y0)的点(x,y),都有
f(x,y)<f(x0,y0)(或f(x,y)>f(x0,y0)),
则称函数在点(x0,y0)有极大值(或极小值)f(x0,y0).
极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点。
主要考察知识点和典型例题:
考点一:偏导数的计算(对谁求偏导,谁是变量,其余看成常数)
根据偏导数的定义,偏导数的本质是增量比值的极限,而增量中只有一个变量发生了变化,其余的变量不变(不变就是常数),所以求偏导数的方法和求导数的方法是一样的。
考点二:全微分计算(求全微分就是把所有的偏导数都求出来,乘上相应变量的微分后相加)
考点三:复合函数的偏导数——作为一般掌握
(同路相乘,异路相加,同级不通路)
1、中间变量是一元函数的情形
链式法则如图示:
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