广东专升本复习资料数学2--多元函数微分学知识点睛2

2、中间变量是多元函数的情形

复合函数：、及

链式法则如图示：

典型例题设，而，，求全导数.

解:

考点四：隐函数的导数和偏导数

（）

典型例题求由方程所确定的隐函数的导数

解此题在第二章第六节采用两边求导的方法做过,这里我们直接用公式求之.

令则

(，.)——重点

典型例题设是由方程所确定的隐函数，求。

解：设，

，，

，

＝＋

考点五：二阶偏导数（就是一阶偏导数再求偏导数）

典型例题设，求、、、及.

解：

往年真题设函数，则等于(B)

A．

B．

C．

D．

解是求函数的二阶偏导数，要求二阶偏导，需先求一阶偏导。

一阶偏导数对：

二阶偏导数对：

考点六、二元函数的极值

1、二元函数的无约束极值

求的极值的一般步骤为：

第一步解方程组

f_x(x,y)=0,f_y(x,y)=0,

求得一切实数解,即可得一切驻点.

第二步对于每一个驻点(x₀,y₀),求出二阶偏导数的值

A、B和C.

第三步定出AC-B²的符号,按定理2的结论判定f(x₀,y₀)是否是极值、是极大值还是极小值.

典型例题求函数的极值.

解先解方程组解方程组

解得驻点为

再求出二阶偏导数

ⅰ在点(1,0)处,故函数在该点处有极小值

ⅱ在点(1,2)处,处，故函数在这两点处没有极值;

ⅲ在点处，又故函数在该点处有极大值

2、条件极值拉格朗日乘数法

要找函数z=f(x,y)在条件j(x,y)=0下的可能极值点，可以先构成辅助函数

F(x, y)=f(x, y)+lj(x, y) , 

其中l为某一常数。然后解方程组：

.

由这方程组解出x,y及l,则其中(x,y)就是所要求的可能的极值点。

典型例题求表面积为a²而体积为最大的长方体的体积.

解设长方体的三棱的长为x,y,z,则问题就是在条件

2(xy+yz+xz)=a²

下求函数V=xyz的最大值.

构成辅助函数

F(x,y,z)=xyz+l(2xy+2yz+2xz-a²),

解方程组

,

得,

这是唯一可能的极值点.因为由问题本身可知最大值一定存在,

所以最大值就在这个可能的值点处取得.此时.