广东考试复习资料数学2--多元函数积分学
多元函数积分学
知识结构:
必备基础知识
★ 二重积分的定义
设f(x, y)是有界闭区域D上的有界函数。将闭区域D任意分成n个小闭区域:Ds 1, Ds 2, × × × , Ds n ,其中Ds i表示第i个小区域, 也表示它的面积. 在每个Ds i上任取一点(x i, hi), 作和:
如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y)在闭区域D上的二重积分, 记作, 即
f(x, y)被积函数, f(x, y)ds被积表达式, ds面积元素, x, y积分变量, D积分区域, 积分和.
★ 二重积分的几何意义
如果f(x, y)³0, 被积函数f(x, y)可解释为曲顶柱体的在点(x, y)处的竖坐标, 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积. 如果f(x, y)是负的, 柱体就在xOy 面的下方, 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积, 但二重积分的值是负的.
★ 二重积分的性质(二重积分与定积分有类似的性质)
性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面,即
性质2 函数的和(或差)的二重积分等于各个函数的二重积分的和(或差)。
性质3 如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域,则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。例如D分为两个闭区域D1与 D2,则
此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。
性质4 如果在D上,f(x,y)= 1,s 为D的面积,则
此性质的几何意义很明显,因为高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积。
性质5:如果在D上, f (x, y)£g(x, y), 则有不等式:
性质6设M、m分别是f(x, y)在闭区域D上的最大值和最小值, s为D的面积, 则有:
上述不等式是对二重积分估值的不等式。
性质7(二重积分的中值定理)设函数f(x, y)在闭区域D上连续, s 为D的面积, 则在D上至少存在一点(x, h)使得:.
★ 积分区域的分类
(1)上下结构:平面图形由上下两条曲线y=f上(x)与y=f下(x)及左右两条直线x=a与x=b所围成
特点:
(1)平面图形上下是两条曲线y=f上(x)和y=f下(x),左右是两条直线x=a与x=b;
(2)作穿过平面图形且平行于轴的有向直线,进入区域交的是y=f下(x),出来区域交的是y=f上(x)
解:该平面图形为上下结构:
(2)左右结构:平面图形由左右两条曲线x=j左(y)与x=j右(y)及上下两条直线y=d与y=c所围成。
特点:
(1)平面图形左右是两条曲线x=j左(y)和x=j右(y),上下是两条直线y=d与y=c;
(2)作穿过平面图形且平行于轴的有向直线,进入区域交的是x=j左(y),出来区域交的是x=j右(y)。
解:该平面图形为左右结构:
主要考察知识点和典型例题:
二重积分是定积分的扩展,是二元函数的积分,具有和定积分相似的定义和性质。从考试的角度看,主要是考查二重积分的计算,考查方法是直接给定一个二重积分,让我们选择合适的方法进行计算。
二重积分的计算首先要确定坐标系,即:是在直角坐标系下还是在极坐标系下计算,两种情况往年都考过,所以都需要大家掌握。
(1)当二重积分的积分区域为圆面、环面、扇面等区域时,考虑用极坐标;当被积函数含有、、也要考虑极坐标。
(2)其余情况一般考虑在直角坐标系下计算。
考点一:利用直角坐标计算二重积分(转化为二次积分)
1、上下结构区域: D : j1(x)£y£j2(x), a£x£b .
法则:前看端点,后作平行
(2)左右结构区域: D : y1(y)£ x£y2(y), c£y£d
法则:前看端点,后作平行
典型例题 计算, 其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域.
解:
方法一. 可把D看成是上下结构区域: 1£x£2, 1£y£x . 于是
方法二. 也可把D看成是左右结构区域: 1£y£2, y£x£2 . 于是
【注】:
(1) 若积分区域既是 上下结构区域又是左右结构区域 , 则有
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干上下结构域或左右结构域 , 则
考点二: 利用极坐标计算二重积分(转化为二次积分)
a£q£b, j 1(q)£r£j 2(q),则
典型例题:计算, 其中D是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域.
解 在极坐标系中, 闭区域D可表示为
0£r£a , 0£q £2p .
于是
解:在极坐标系中, 闭区域D可表示为
于是
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